רדיוס כדור הארץ
תיאור סיטואציה
אֵרָטוֹסְתֵנֶס היה יְוָוני, שחי בַּמאה השלישית לפני הַספירה בְּאַלֶכְּסַנְדְרִיה שבְּמצרַים. הוא היה סַפרן בַּסִפרייה העצומה שהייתה בְּאַלֶכְּסַנְדְרִיה ונודע גם כְּמַתֵמטיקאי וְכִמשורר.
לפני כ-2300 שנה ארטוסתנס הגה ניסוי גאוני ופשוט, ובעזרת שני מקלות הוא חישב את רדיוס כדור הארץ בדיוק מרשים. כיצד הוא עשה זאת?
מה ידע ארטוסתנס?
- כדור הארץ הוא עגול.
- בעיר אסואן שבמצריים, ביום הארוך בשנה, 21 ביוני, בשעה 12.00 בצהריים השמש מצויה בדיוק מעל ראשו של הצופה – כלומר מצויה בזֶניט.
משמעות הדבר היא שאם נעמיד מקל בניצב לפני האדמה באסואן, בשעה 12.00 ב-21 ביוני, לא יטיל מקל זה כל צל. - המרחק בין אסואן לאלכסנדריה שבמצריים הוא כ- 925 ק"מ.
- ניתן לדעת את גודל הזווית בין מקל לקרן שמש העוברת דרך קצה המקל, על פי היחס בין אורך הצל לאורך של המקל.
- כיוון שקרני השמש מגיעות לכדור הארץ ממרחק גדול מאוד, ניתן להתייחס אליהן כמקבילות.
(ניתן ללחוץ על כל תמונה וסרטוט ולהגדילם)
בעיה
לפניכם סרטוט סכמתי המתאר את הניסוי.
בסרטוט, הנקודה O מייצגת את מרכז כדור הארץ.
בעיה 1
- זהו בסרטוט היכן מסומנת העיר אסואן והיכן אלכסנדריה. נמקו.
- איזה חלק בסרטוט מסמן את המרחק בין אסואן לאלכסנדריה.
- הסבירו מדוע זווית AOB שווה לזווית α.
תיאור הניסוי
ארטוסתנס היה באלכסנדריה ב 21 ביוני.
בשעה 12.00 בצהריים העמיד מקל (בעיר זו השמש אינה נמצאת בזֶניט) ומדד את אורך הצל של המקל.
זווית α שהתקבלה היתה בת \(7.2^\circ\).
על פי ידע זה ארטוסתנס חישב את היקף כדור הארץ ואת הרדיוס שלו.
בעיה 2
- אם נחלק את העיגול ל 50 חלקים שווים (בדומה לחלק AOB של העיגול – גִיזְרָה בסרטוט הנתון), לכמה תהייה שווה הזווית, המתאימה לכל חלק?
- היעזרו בסעיף קודם וביישומון המצורף ומצאו איזה חלק מהווה המרחק בין אסואן לאלכסנדריה מהיקף כדור הארץ.
- חשבו את היקף כדור הארץ.
- חשבו את רדיוס כדור הארץ.
- כיום ידוע כי רדיוס כדור הארץ בקו המשווה הוא 6,378 ק"מ.
בכמה ק"מ טעה ארטוסתנס?
- ניתן לשנות את ערכי הזווית בסרגל הגרירה.
