כמה רחוק קו האופק - גרפים

תיאור סיטואציה

קו האופק הוא קו ראיה אופקי שהוא בגובה העיניים של הצופה.
קו האופק עובר במקום המפגש הדמיוני הנצפה בין השמים לארץ או לים.
קיומו של קו האופק נובע מעקמומיות פני כדור הארץ, שבעטיה אין הצופה יכול לצפות בפני כדור הארץ מעבר לקו מסוים, הוא קו האופק.
נסמן בסרטוט (ראו תרשים משמאל):
את רדיוס כדור הארץ ב- R (נניח כי 6,371 ק"מ = R).
ונקודה על קו האופק M – זוהי נקודה שמבט הראיה שלנו מופנה אליה.
נגדיר את המשתנים ונסמן גם אותם על הסרטוט:
h – גובה עיניו של הצופה מעל פני כדור הארץ.
\(d (BM)\) – המרחק (בקו ישר) אל נקודה על קו האופק.
נתון כי המשולש OMB שנוצר הוא משולש ישר זווית (\(\measuredangle{M}=90^{\circ}\))

*במציאות כדור הארץ אינו כדור מושלם.

(ניתן ללחוץ על כל תמונה וסרטוט ולהגדילם)

נתון גרף הפונקציה \(d(h)\) המתארת מרחקו של צופה אל קו האופק d (בק"מ), כפונקציה של גובה עין של הצופה h (בק"מ) מעל פני כדור הארץ.

תחנת החלל נמצאת בגובה של כ-400 קילומטר מעל פני כדור הארץ.
כמה רחוק רואה אסטרונאוט הנמצא בתחנה?
הסבירו כיצד קבעתם וסמנו נקודה מתאימה על הגרף.
בשנת 2014 אלן יוסטס, סגן נשיא בחברת גוגל, קבע את שיא העולם לנפילה חופשית מגובה של כ-41 ק"מ.
1. סמנו נקודה מתאימה על גרף הפונקציה.
2. בכמה רחוק יותר (בערך) המרחק שרואה האסטרונאוט הנמצא בתחנת החלל, מאשר אלן יוסטס בתחילת המסע?
1. אפיינו את קצב ההישתנות של הפונקציה \(d(h)\).
2. תארו לפחות שתי תכונות שונות נוספות של הפונקציה \(d(h)\) בהסתמך על הגרף.
כיצד תכונות אלה באות לידי ביטוי בחיי היומיום?

בחלון הימני:

לחיצה על הכפתורים "מגדל" או "תחנת חלל" מדגימה את הגובה של הצופה, ומשנה בהתאם, בחלון השמאלי, את:
- הערכים בסרגל הגרירה
- הנקודה שעל הפונקציה
לחיצה על "הגדלה/הקטנה" מציגה את פני הכדור בהתאם.

בחלון השמאלי:

סמנו את \(d(h)\) כדי להציג את פונקציית המרחק.
גררו את הנקודה בסרגל הגרירה, כדי לראות ערכים שונים של h ו-d.
בתמונה המוגדלת בפינה העליונה, תוכלו לראות בהגדלה את ההצגה של פני הכדור שבחלון הימני.
ניתן לנקות עקבות שנוצרו עקב גרירת הנקודה על הפונקציה.